如图，△ABC中，点O是边AC上一个动点，过O作直线MN∥BC，设MN交∠BCA的平分线于点E，交∠BCA的外角平分线于

解题思路：（1）探究问题，也就是证明问题，可以先假设，题中OE，OF可通过平行线，角平分线确定二者之间的关系．
（2）正方形的判定问题，AECF若是正方形，则必有对角线OA=OC，所以O为AC的中点，同样在△ABC中，当∠ACB=90°时，可满足其为正方形．
（3）菱形的判定问题，若使菱形，则必有四条边相等，对角线互相垂直．

（1）OE=OF．理由如下：
∵CE是∠ACB的角平分线，
∴∠ACE=∠BCE，
又∵MN∥BC，
∴∠NEC=∠ECB，
∴∠NEC=∠ACE，
∴OE=OC，
∵CF是∠BCA的外角平分线，
∴∠OCF=∠FCD，
又∵MN∥BC，
∴∠OFC=∠ECD，
∴∠OFC=∠COF，
∴OF=OC，
∴OE=OF；
（2）△ABC满足∠ACB为直角的直角三角形时，四边形AECF是正方形．
∵当点O运动到AC的中点时，AO=CO，
又∵EO=FO，
∴四边形AECF是平行四边形，
∵FO=CO，
∴AO=CO=EO=FO，
∴AO+CO=EO+FO，即AC=EF，
∴四边形AECF是矩形．
已知MN∥BC，当∠ACB=90°，则
∠AOF=∠COE=∠COF=∠AOE=90°，
∴AC⊥EF，
∴四边形AECF是正方形．
（3）不可能．
如图所示，
∵CE平分∠ACB，CF平分∠ACD，
∴∠ECF=[1/2]∠ACB+[1/2]∠ACD=[1/2]（∠ACB+∠ACD）=90°，
若四边形BCFE是菱形，则BF⊥EC，
但在△GFC中，不可能存在两个角为90°，所以不存在其为菱形．

点评：
本题考点： 菱形的判定；正方形的判定．

考点点评： 熟练掌握菱形及正方形的性质及判定定理，能够解决一些简单的运动问题．

∵EF//BC，∴∠CEO=∠BCE,∠OFC=∠FCD,
又∵为∠BCE=∠ECO, ∠OCF=∠FCD,
所以∠CEO=∠ECO，则OE=OC,
同理∠OCF=∠OFC，则OF=OC，所以OE=OF。
2、∵∠ECO=1/2∠BCA, ∠FCO=1/2∠DCA,
所以∠ECF=1/2(∠BCA+∠DCA)=1/2*180°=90°,
所以△ECF...

1.∵MN∥BC,
∠NMC=∠MCB
MN交∠BCA的平分线于点E
OE=OC
同理OC=OF
所以OE=OF
2.O为AC中点
△ABC为直角三角形∠ACB=90度 （∠ACM=45度）
3.若BCEF为平行四边形，需BC=2OC=EF
所以若为菱形 需BC=CF=2OC
因OC=OF OC+OF=2OC>CF