试确定，对于怎样的正整数a，方程5x2-4（a+3）x+a2-29=0有正整数解？并求出方程的所有正整数解．

解题思路：首先把方程改写成（x-6）²+（a-2x）²=65这种形式，根据65表成两个正整数的平方和，只有两种不同的形式：65=1²+8²=4²+7²，进而求出x的整数根．

将方程改写为 （x-6）²+（a-2x）²=65，
由于65表成两个正整数的平方和，只有两种不同的形式：65=1²+8²=4²+7²
所以，

| x -6 |=8
|a-2x|=1…①，或

| x -6 |=7
|a-2x|=4…②

| x -6 |=1
|a-2x|=8…③，或

| x -6 |=4
|a-2x|=7…④
由①得x=14（当a=29或27）；由②得x=13（当a=22或30）；
由③得x=5（当a=2或18）； 或 x=7（当a=6或22）；
由④得x=2（当a=11）；或 x=10（当a=13或27）．

点评：
本题考点： 一元二次方程的整数根与有理根．

考点点评： 本题主要考查一元二次方程的整数根和有理根的知识点，解答本题的关键是把方程改写成（x-6）2+（a-2x）2=65这种形式，此题难度一般．