la1234567 幼苗
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x |
(1)f′(x)=ex+a,把x=1代入得:f′(1)=e+a,
把x=1代入f(x)得:f(1)=e+a,所以切点坐标为(1,e+a),
则在x=1处的切线为y-(e+a)=(e+a)(x-1)即:y=(e+a)x,
与y2=4(x-1)联立,消去得(e+a)2x2-4x+4=0,
由△=0知,a=1-e或a=-1-e;(4分)
(2)f′(x)=ex+a,
①当a>0时,f′(x)>0,f(x)在R上单调递增,且当x→-∞时,ex→0,ax→-∞,
∴f(x)→-∞,故f(x)>0不恒成立,所以a>0不合题意;(6分)
②当a=0时,f(x)=ex>0对x∈R恒成立,所以a=0符合题意;
③当a<0时令f′(x)=ex+a=0,得x=ln(-a),
当x∈(-∞,ln(-a))时,f′(x)<0,当x∈(ln(-a),+∞)时,f′(x)>0,
故f(x)在(-∞,ln(-a))上是单调递减,在(ln(-a),+∞)上是单调递增,
所以[f(x)]min=f(ln(-a))=-a+aln(-a)>0,
解得a>-e,又a<0,∴a∈(-e,0),
综上:a∈(-e,0].(10分)
(3)当a=-1时,由(2)知[f(x)]min=f(ln(-a))=-a+aln(-a)=1,
设h(x)=g(x)-f(x)=exlnx-ex+x,则h′(x)=exlnx+ex•
1
x−ex+1=ex(lnx+
1
x−1)+1,
假设存在实数x0∈(0,+∞),使曲线C:y=g(x)-f(x)在点x=x0处的切线斜率与f(x)在R上的最小值相等,
x0即为方程的解,(13分)
令h′(x)=1得:ex(lnx+
1
x−1)=0,因为ex>0,所以lnx+
1
x−1=0.
令φ(x)=lnx+
1
x−1,则φ′(x)=
1
x−
1
x2=
x−1
x2,
当0<x<1是φ′(x)<0,当x>1时φ′(x)>0,
所以φ(x)=lnx+
1
x−1在(0,1)上单调递减,在(1,+∞)上单调递增,
∴φ(x)>φ(1)=0,故方程ex(lnx+
1
x−1)=0有唯一解为1,
所以存在符合条件的x0,且仅有一个x0=1.(16分)
点评:
本题考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;导数在最大值、最小值问题中的应用.
考点点评: 此题考查学生会利用导数求切线上过某点切线方程的斜率,会利用导函数的正负确定函数的单调区间,会利用导数研究函数的极值,掌握导数在最大值、最小值问题中的应用,是一道中档题.
1年前
1年前1个回答
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已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(e为自然对数的底数).
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已知函数f(x)=(x2+ax+a)ex(e为自然对数的底数).
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已知函数g(x)=ex-1-ax,a∈R,e是自然对数的底数.
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你能帮帮他们吗