（2014•郑州一模）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．

（2014•郑州一模）如图，A，B，C，D四点在同一圆上，BC与AD的延长线交于点E，点F在BA的延长线上．
（Ⅰ）若[EC/EB＝
1
3
，
ED
EA
＝
1
2]，求[DC/AB]的值；
（Ⅱ）若EF2=FA•FB，证明：EF∥CD．
郑州家装监理 1年前 已收到1个回答 举报
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voilin 幼苗

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解题思路：（I）根据圆内接四边形的性质，可得∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B，从而△EDC∽△EBA，所以有
ED
EB
＝
EC
EA
＝
DC
AB
 ，利用比例的性质可得
1
2
•
1
3
＝(
DC
AB
)2，得到
DC
AB
＝
6
6
；
（II）根据题意中的比例中项，可得[EF/FA
＝
FB
FE]，结合公共角可得△FAE∽△FEB，所以∠FEA=∠EBF，再由（I）的结论∠EDC=∠EBF，利用等量代换可得∠FEA=∠EDC，内错角相等，所以EF∥CD．

（Ⅰ）∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠ECD=∠EAB，∠EDC=∠B
∴△EDC∽△EBA，可得
ED
EB＝
EC
EA＝
DC
AB ，
∴[ED/EB•
EC
EA＝(
DC
AB)2，即
1
2•
1
3＝(
DC
AB)2
∴
DC
AB＝

6
6]
（Ⅱ）∵EF2=FA•FB，
∴[EF/FA＝
FB
FE]，
又∵∠EFA=∠BFE，
∴△FAE∽△FEB，可得∠FEA=∠EBF，
又∵A，B，C，D四点共圆，
∴∠EDC=∠EBF，
∴∠FEA=∠EDC，
∴EF∥CD．

点评：
本题考点： 圆內接多边形的性质与判定；相似三角形的判定；相似三角形的性质．

考点点评： 本题在圆内接四边形的条件下，一方面证明两条直线平行，另一方面求线段的比值．着重考查了圆中的比例线段、圆内接四边形的性质和相似三角形的判定与性质等知识点，属于中档题．

1年前

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