设f（u）具有二阶连续导数，而z=f（exsiny）满足方程∂2z∂x2+∂2z∂y2=e2xz，则f（u）=C1e−u
设f（u）具有二阶连续导数，而z=f（exsiny）满足方程
+
=e2xz，则f（u）=
| ∂2z |
| ∂x2 |
| ∂2z |
| ∂y2 |
C1e−u+C2eu，其中C1、C2为常数
C1e−u+C2eu，其中C1、C2为常数
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解题思路：首先，由方程z=f（exsiny）求出z对x和y的一阶偏导数，而后求出二阶偏导数之和，再和已知的
+
=e2xz比较，求得z=f（u）的表达式．
| ∂2z |
| ∂x2 |
| ∂2z |
| ∂y2 |
设u=exsiny，则
[∂z/∂x＝f′(u)exsiny，
∂z
∂y＝f′(u)excosy
∴
∂z
∂x2＝f″(u)(exsiny)2+f′(u)exsiny，
∂2z
∂y2＝f″(u)(excosy)2−f′(u)exsiny
∴
∂2z
∂x2]+
∂2z
∂y2＝e2xf″(u)
又已知
∂2z
∂x2+
∂2z
∂y2＝e2xz＝e2xf(u)
∴f″（u）=f（u）
解得：
f(u)＝C1e−x+C2ex，其中C1、C2为常数．
点评：
本题考点： 二阶偏导的计算．
考点点评： 此题考查了复合函数二阶偏导数的计算以及二阶常系数线性微分方程的解法，是基础知识点的综合．
1年前
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