Rt△ABC中,∠BAC=90°,AB=BC,D、E为BC上两点,且∠DAE=45° 试说明以BD、DE、EC为三边的三

证明：作CF⊥BC于C 使CF=BD 连AF、EF
,∠BAC=90°,AB=BC ∴∠B=∠BCA=45° ∴∠ACF=45°=∠B
∴△ACF≡△ABD ∴∠CAF=∠BAD AD=AF ∠DAE=45°
∴∠BAD+∠CAE=90-45=45° ∴∠EAC+∠CAF=45°=∠DAE
∴△DAE≡△FAE ∴DE=EF 而△ECF是RT三角形∴BD、DE、EC为三边的三角形是直角三角形

如图所示，作AD=AM，∠CAM=45°，连结MC，ME。

∵∠CAM=45°，∠DAE=45°（已知）∴∠DAM=90°

又∵∠BAC=∠DAM=90°（已知）∴∠BAD=∠CAM

在△ABD，△ACM中：

∵AB=AC，∠BAC=∠DAM，AD=AM∴△ABD≌△ACM

∴BD=CM（全等三角形对应边相等）∠ABC=∠ACM（全等三角形对应角相等）

∴∠CAM=90°，△MCE为直角三角形

在△ADE，△AEM中：

∵AD=AM，∠DAE=∠EAM，AC=AC∴△ADE≌△AEM

∴DE=CM （全等三角形对应边相等）

∵ DE=CM ，BD=CM，△MCE为直角三角形（已证）

∴BD、DE、EC为三边的三角形是直角三角形

三角形ACE旋转到三角形ABF,连DF,

三角形ACE全等于三角形ABF

所以BF=EC,∠C=∠FBA=45

可证三角形ADF全等于三角形ADE,

所以DE=DF,

在三角形BDF中,∠FBD=∠C+∠ABD=90,

所以以BD、DE和EC为边可以构成一个直角三角形