设f(x)=(x2-1)g(x),其中g(x)在x=1及其邻域有定义,则limx→1g(x)存在是f(x)在x=1处可导

设f(x)=(x2-1)g(x),其中g(x)在x=1及其邻域有定义,则
lim
x→1
g(x)存在是f(x)在x=1处可导的(  )
A.充分条件
B.必要条件
C.既不充分又不必要条件
D.充要条件
彬彬1983 1年前 已收到1个回答 举报

GohomeX 幼苗

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解题思路:首先,由f(x)=(x2-1)g(x)得到g(x)的表达式,然后写出limx→1g(x)和f′(1)=limx→1f(x)−f(1)x−1之间的关系式,就可得出结论.

∵f(x)=(x2-1)g(x)
∴g(x)=


f(x)
x2−1,x≠1
g(1),x=1,x∈U(1)
又f(1)=0

lim
x→1g(x)=
lim
x→1
f(x)
x2−1=
lim
x→1
1
x+1
lim
x→1
f(x)−f(1)
x−1=[1/2f′(1)

lim
x→1]g(x)存在是f(x)在x=1处可导的充要条件.
故选:D

点评:
本题考点: 函数极限存在性的判别和证明综合.

1年前

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