Has he moved to his new house yet?

to和into区别不大,可以呼唤,但也不是完全没有区别.to表示所在地,move to表示搬到房子所在的地方；into有进入的含义,move into表示搬到房子里.其实你也看出来了,具体用哪个只是习惯问题.不过,当然了,如果你说“when will he move into this house”,你通常正站在this house里面,不过也不是觉得的.
以上两个是介词,后面要接宾语；in则是副词,是与move组合在一起的,move in表示“搬进”,后面不用说出搬进哪里.
move into有一点“move in”和“move to”结合的味道.

从一处移动／搬（走）到某个地方，要用move + to/into
I think that they'll move in the day after tomorrow .
这里的move in 是指搬进来．

move to 是强调方位的变化
move in 是强调“搬进”
move into 更加强调搬进了的地方
第二句说 这些人什么时候搬到房子里面去，暗含搬进去后也许对说话人有什么影响
第三句只是回答时间，move in只是表达一般的 搬进