假设方阵A,B满足方程A^2+AB+B^2=0,且B可逆,试证明A和A+B都可逆

证明:由已知 A^2+AB+B^2=0
所以有 A(A+B) = -B^2
而由已知 B 可逆,所以 |B|≠0,所以 |B^2| = |B|^2 ≠ 0
所以 |A||A+B| = |A(A+B)| = |B^2| ≠ 0
所以 |A| ≠ 0,|A+B| ≠0
所以 A,A+B 都可逆.

B^2 = - A^2 - AB
B^2 * B^(-2) = -A^2 * B^(-2) - A * B * B^(-2)
I = A*( -A * B^(-2) - B^(-1))
A^(-1) = - A * B^(-2) - B^(-1)
A可逆
B^2 = (-A) * (A + B)
B^(-2) * B^2 = B^(-2) * (-A) * (A + B)
I = (B^(-2) * (-A)) * (A + B)
(A + B)^(-1) = B^(-2) * (-A)
A+B 可逆

证明: 由已知 A^2+AB+B^2=0
所以有 A(A+B) = -B^2
而由已知 B 可逆, 所以 |B|≠0, 所以 |B^2| = |B|^2 ≠ 0
所以 |A||A+B| = |A(A+B)| = |B^2| ≠ 0
所以 |A| ≠ 0, |A+B| ≠0
所以 A, A+B 都可逆.