已知函数f(x)=2x^2+ax+b/ x^2+1的值域为〔1,3〕求a,b的值

已知函数f(x)=2x^2+ax+b/ x^2+1的值域为〔1,3〕求a,b的值
因为y=2x²+ax+b/ x²+1,所以（y-2）x²-ax+y-b=0
（1）当y-2≠0时
因为x∈R,Δ≥0,即a²-4(y-b)(y-2)≥0
而4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0
又因为1≤y≤3
所以1,3是关于y=方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0的两根
由根与系数的关系,得
b+2=4
(8b-a²)/4=3
a=±2
b=2
（2）当y=2时ax+b=2,当a=2,b=2；或a=-2,b=2时,x=0满足题意
所以a=±2,b=2
对于这道题我有几点不明白的地方
第一
函数y=2x²+ax+b/ x²+1
（y-2）x²-ax+y-b=0
和方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0
他们之间的关系,感觉乱糟糟的,条理不太清晰,最好能从图像的角度讲一下
第二
函数转换成方程之后,x∈R,Δ≥0
这地方理解不了
我想的是,“任取x都能使函数成立,然后得到的结果就是属于值域中的一个值
而Δ≥0求的是存在这样的x使得方程成立,可是成立之后的y值不一定属于值域[1,3]
第三
接着又用Δ≥0得到的式子去套韦达定理
韦达定理的根是（y-2）x²-ax+y-b=0的根吧?
不是4y²-4(2+b)y+8b-a²=0的根吧?
为什么分类讨论
而分类讨论之后y=2时.a=±2.b=2.x=0怎么就满足题意了?
x等于几都行?只要x不无解就满足?
既然是分类讨论.为什么第二个分类变成了验算第一个分类的了?
按理来说应该一个分类求出来一个区域,然后这两个区域取并集才对啊
如果第二个分类正确的话,应该是能解出一些值的
虽然只有一个式子ax+b=2应该解不出a,b
总之这题感觉乱哄哄的,最好能从图像的角度辅助讲解一下

桐花开 1年前已收到6个回答举报

天龙之星幼苗

共回答了13个问题采纳率：92.3% 举报

函数y=(2x²+ax+b)/ (x²+1)
与(y-2）x²-ax+y-b=0的关系：
函数是一种对应关系,由x可求y,
反之所有值域中的y都可以反求定
义域中的x.本题函数的定义域为
R,凡是能反解出实数x的y值都在
值域中,不能解出实数x的系数y
(暂且交y吧)则不是函数值.
所以函数值域既是能使方程
(y-2）x²-ax+y-b=0 （#）
有实数解的y的集合.
当y-2=0时（#）不是二次方程,
最后单独验证（#）是否有解
当y-2≠0时（#）是二次方程,
其有解条件是Δ≥0
于是得到
4y²-4(2+b)y+8b-a²≤0(*)
∵值域是[1,3],(这里y≠2)
∴(*)的解集一定为[1,3](这里y≠2)
【若(*)的解集超出[1,3]的范围,
说明在[1,3]之外还有函数值,
就矛盾了.】
因此1,3是方程4y²-4(2+b)y+8b-a²=0
的根,用韦达求出a,b
接下来
∵y=2∈[1,3],y=2时,（#）必需有解
【还是那句话既是函数值都得反解出实
数x,实数x都能算出【1,3】内的函数值】
此时由 y=2得到.x=0说明2是函数值,
y=2是由x=0算出来的.
即a=±2,b=2这组值确实能够是函数的值
域为【1,3】
本题采用求值域的方法叫做判别式法,
其理论根据是函数的概念,你要加强对
函数概念的理解,而不是利用图像
理解本问题.本题还可以用导数解决.
希望对你有所帮助!欢迎追问.

1年前追问

桐花开举报

凡是能反解出实数x的y值都在值域中，不能解出实数x的系数y (暂且交y吧)则不是函数值。所以函数值域既是能使方程首先这里不明白反解是什么，怎么反解怎么才算“不能解出实数x的系数y” 如果我没理解错，值域中的y，比如这题是【1，3】。代入1，3和13之间任何数得到一个范围也就是是x的范围，R对吧？那不能解出x的y是什么？是小于1大于3的那些？感觉反解函数，应该还是函数比如y=2x 反过来应该是x=y/2，为什么会是个方程

举报天龙之星

函数主要是由x求y 将y看成是已知，求自变量x的过程叫做反解代入1，3和13之间任何1个y的值只能得到1个或2个具体的x值，而不会是R y取遍[1,3]中的所有值后，求出的x值才会是R 原函数的对应关系x∈R--->y∈[1,3] 法则是解析式 y是由x求出来的，每一个y都可以回过头找出它所对的x. 只有[1,3]中的值是由实数x通过函数对应关系是算出来的，[1,3]之外的值不是函数值。如让y=0， (2x²+ax+b)/ (x²+1)=0，这个方程必须无解因为它一旦有解x'，说明实数x'对应0，说明0在值域里面，矛盾了。函数y=2x 的定义域为R 由x可以算y，值域中的y可以回到一个x 方程x=y/2不论y为何值都有解，说明值域为R 再举1例： y=sinx y=1时，sinx=1,有解，说明1是函数值 y=sinx，x∈(0,π/2) y=1/2时，sinx=1/2, 解出x=π/6,1/2是函数值 y=-1/2时，解不出x，说明-1/2不是函数值 y=(2x-1)/(x-1)的值域 y=(2x-1)/(x-1) y(x-1)=2x-1 使方程 (y-2)x=y-1 有解的y的范围是值域 y=2时，0*x=1，x无解，则值域中不含2 y≠2时，可解出唯一实数解x=(y-1)/(y-2) （这只是一个解）所以值域为y∈R,且 y≠2 例：求y=(2x²+2x+2)/ (x²+1)的值域函数定义域为R y=(2x²+2x+2)/ (x²+1)<==>(y-2)x^2-2x+y-2=0 (#) 函数值域既是使（#）有实数解的y的集合 y=2时，（#）即x=0,符合题意 y≠2时，（#）是一元二次方程，有实数解得条件为 Δ=4-4（y-2)^2≥0==>1≤y≤3,y≠2 综上所述，函数值域为【1，3】在下面图中，y=k和图像有公共点时，k才是函数值要求1≤k≤3,只有【1，3】之间的值，才能回头与实数x对应. 本题还可以用其他方法做，比如，换元，利用均值定理或者求导，但是函数的概念必须理解到位，否则用其他方法也就失去了基础。