设一平面垂直于z=0,并通过从点（1,-1,1）到直线y-z+1=0,x=0的垂线,求此平面方程

设一平面垂直于z=0,并通过从点M（1,-1,1）到直线y-z+1=0,x=0的垂线,求此平面方程.
平面z=0就是xoy平面,所求平面垂直于z=0,说明所求平面平行于z 轴(即垂直于xoy平面).
直线L：y-z+1=0,x=0,是在yoz平面内的一条直线；将其方程改写成标准形式就是：
x/0=(y+1)/1=z/1,其方向数为{0,1,1}；为了求出从点M(1,-1,1)到直线L的垂直线的方程,先
作一平面过点M(1,-1,1)且垂直于L,那么这个平面方程应为0×(x-1)+1×(y+1)+1×(z-1)=0,即
y+z=0.(1)
再求已知直线L与平面(1)的交点N.为此,令x/0=(y+1)/1=z/1=λ,于是得直线L的参数方程为：
x=0,y=λ-1,z=λ.(2)
将(2)代入(1)式,便得2λ-1=0,故λ=1/2；因而求得交点N的坐标为：x=0,y=-1/2,z=1/2；
即N(0,-1/2,1/2)；因为直线上两点的坐标差是这直线的一组方向数,故所求垂直线的方程为：
(x-1)/(0-1)=(y+1)/(-1/2+1)=(z-1)/(1/2-1),即有(x-1)/(-1)=(y+1)/(1/2)=(z-1)/(-1/2),各项都乘以1/2,把方向数变为整数得：(x-1)/(-2)=(y+1)/1=(z-1)/(-1),就是从点(1,-1,1)到直线L的垂线的方程,其方向数为{-2,1,-1}.
该直线在所求的平面上,且所求平面平行于z轴,故设过M点的平面为：
A(x-1)+B(y+1)+C(z-1)=0.(1)
点N在此平面上,将其坐标代入(1)式得：
-A+(1/2)B-(1/2)C=0.(2)
所求平面平行于z轴,故有C=0.(3)
将(3)代入(1)和(2)得：
A(x-1)+B(Y+1)=0.(3)
-A+(1/2)B=0.(4)
关于A、B的齐次方程组(3)(4)具有非零解的充要条件是二阶行列式：
︱x-1.y+1︱
︱-1.1/2︱=0
即有(1/2)(x-1)+(y+1)=0,化简得x+2y+1=0,这就是所求平面的方程.