已知a、b均为整数，直线y=ax+b与三条抛物线y=x2+3，y=x2+6x+7和y=x2+4x+5交点的个数分别是2，

解题思路：把直线解析式与抛物线的解析式联立得到关于x的一元二次方程，然后利用根与系数的关系分别列式得到关于a、b的不等式与方程，把方程变形可得4b=-（a²-12a+8），分别代入不等式组成关于a的不等式组，求解得到a的取值范围，再根据a、b是整数求出a、b的值，代入bx²+ay²=6x并用x表示出y²，再根据非负数的性质求出x的取值范围，再把x²+y²写成关于x的代数式，根据二次函数的增减性求出最大值即可．

根据题意得，x²+3=ax+b，
x²+6x+7=ax+b，
x²+4x+5=ax+b，
∵直线与三条抛物线的交点的个数分别是2，1，0，
∴△₁=a²-4×1×（3-b）=a²+4b-12＞0①，
△₂=（6-a）²-4×1×（7-b）=a²-12a+4b+8=0②，
△₃=（4-a）²-4×1×（5-b）=a²-8a+4b-4＜0③，
由②得，4b=-（a²-12a+8）④，
④分别代入①、③得，

a2-(a2-12a+8) -12＞0
a2-8a-4-(a2-12a+8)-4＜0，
整理得

12a＞20
4a＜12，
解得[5/3]＜a＜3，
∵a是整数，
∴a=2，
∴4b=-（2²-12×2+8）=12，
解得b=3，
∴3x²+2y²=6x，
整理得，y²=
6x-3x2
2≥0，
∴6x-3x²≥0，
整理得，3x（x-2）≤0，


x≥0
x-2≤0或

x≤0
x-2≥0（无解），
解得0≤x≤2，
设Z=x²+y²，
=x²+
6x-3x2
2，
=-[1/2]x²+3x，
=-[1/2]（x-3）²+[9/2]，
∴当x≤3时，函数值Z随x的增大而增大，
当x=2时，Z_最大值=-[1/2]（2-3）²+[9/2]=4，
即当x=2时，x²+y²的最大值为4．

点评：
本题考点： 二次函数综合题；非负数的性质：偶次方；二次函数的最值．

考点点评： 本题综合考查了二次函数的性质，根与系数的关系，非负数的性质，二次函数的最值问题，求出a、b的值并把x2+y2的整理成Z关于x的二次函数的形式是解题的关键．