下列说法中：①若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-1），则6为函数f（x）的周期；②若对于任意x∈（1
下列说法中：
①若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-1），则6为函数f（x）的周期；
②若对于任意x∈（1，3），不等式x2-ax+2＜0恒成立，则a＞
；
③定义：“若函数f（x）对于任意x∈R，都存在正常数M，使|f（x）|≤M|x|恒成立，则称函数f（x）为有界泛函．”由该定义可知，函数f（x）=x2+1为有界泛函；
④对于函数f(x)＝
，设f2（x）=f[f（x）]，f3（x）=f[f2（x）]，…，fn+1（x）=f[fn（x）]（n∈N*且n≥2），令集合M={x|f2009（x）=x，x∈R}，则集合M为空集．
正确的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
①若定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-1），则6为函数f（x）的周期；
②若对于任意x∈（1，3），不等式x2-ax+2＜0恒成立，则a＞
| 11 |
| 3 |
③定义：“若函数f（x）对于任意x∈R，都存在正常数M，使|f（x）|≤M|x|恒成立，则称函数f（x）为有界泛函．”由该定义可知，函数f（x）=x2+1为有界泛函；
④对于函数f(x)＝
| x−1 |
| x+1 |
正确的个数为（ ）
A．1个
B．2个
C．3个
D．4个
赞 过客786 幼苗
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解题思路：依据相关函数的性质逐一进行判断证明，判断每个命题的正误．①变形判断其以6为周期，②分离出a来，利用恒成立求其范围；③根据有界函数的定义进行判断，确定f（x）=x2+1的性质；④先验证前几个函数的表达式，找出同期再计算求值．
①由题设定义在R上的函数f（x）满足f（x+2）=-f（x-1），得f（x+2）=-f（x-1）=f（x-4），故周期是6，正确．
②对于任意x∈（1，3），不等式x2-ax+2＜0恒成立，即a＞x+[2/x]对于任意x∈（1，3）恒成立，x+[2/x]≥2
2等号当且仅当x=[2/x]=
2时成立，又当x=1，x+[2/x]=3，x=3，x+[2/x]=[11/3]，故a≥[11/3]故不对．
③若命题成立，则必有M≥|x|+[1
|x|，x∈R恒成立，这是不可能的，故不对．
④由题设f2（x）=-
1/x]，f3（x）=[x+1/x−1]，f4（x）=[1/x]，f5（x）=[1−x/x+1]f6（x）=-x，f7（x）=f3（x）=[x+1/x−1]，故从f3（x）开始组成了一个以f3（x）为首项，以周期为4重复出现，由2009=3+501*4+2得f2009（x）=f5（x），故[1−x/x+1]=x整理得，x2+2x-1=0，有解，故不对．
综上，仅有①正确
故应选A．
点评：
本题考点： 函数的周期性；空集的定义、性质及运算；一元二次不等式的应用．
考点点评： 考查同期性，恒成立求参数，利用周期性求值，新定义函数的正确性验证，本题作为一个选择题运算量太大，且变形技巧性强，实为得分不易之题．
1年前
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