设f（x）是定义在R上的函数，对m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），且当x＞0时，0＜f（x）＜1．

证明：（1）∵m，n∈R恒有f（m+n）=f（m）•f（n），
令m=0
则f（n）=f（0）•f（n），
则f（0）=1
（2）由（1）中结论可得：
令m=-n
则f（0）=f（-n）•f（n）=1，
∴f（x）与f（-x）互为倒数，
∵当x＞0时，0＜f（x）＜1，
∴当x＜0时，f（x）＞1，
又由x=0时，f（0）=1
故当x∈R时，恒有f（x）＞0；
（3）设x ₁ ＞x ₂ ，
∴f（x ₁ ）=f（x ₂ +（x ₁ -x ₂ ））=f（x ₂ ）•f（x ₁ -x ₂ ）
由（2）知当x∈R时，恒有f（x）＞0，
所以
f(x 1 )
f(x 2 ) =f（x ₁ -x ₂ ）＜1
所以f（x ₁ ）＜f（x ₂ ）
∴f（x）在R上是减函数