已知△ABC中,AB=5,AC=4,BC=3,P点在AC上（与A、C不重合）,PQ//AB交BC于Q.

因为PQ//AB,所以△PQC∽△ABC
（1）当△PQC的面积是四边形PABQ的面积的1/3时,它就是△ABC面积的1/4,
因为相似三角形面积比等于边长比的平方,所以PC是AC的1/2,所以PC=2
（2）周长相等的时候,PC+QC等于△ABC周长的一半,等于6,
因为PC/AC=QC/BC,所以(PC+QC)/(AC+BC)=PC/AC,
所以PC/AC=6/7,所以PC=24/7
（3）不妨设PQ=5t,PC=4t,QC=3t
第一种情况：△PQM为等腰直角三角形且斜边为PQ时,M到PQ的距离等于PQ的一半,
因为M到PQ的距离就是梯形PABQ的高,所以,梯形PABQ面积为(5t+5)5t/4
△PQC的面积为3t*4t/2
两者相加应该等于△ABC的面积,即(5t+5)5t/4+3t*4t/2=6
解方程并舍去负根,得t=24/49
所以PQ=5t=120/49
第二种情况：△PQM为等腰直角三角形且直角边为PQ时,M到PQ的距离等于PQ
同上可以得出方程(5t+5)5t/2+3t*4t/2=6
解方程并舍去负根,得t=12/37
所以PQ=5t=60/37

△PQC∽△ABC
1、相似比为1/4 PC=4*1/4=1
2、设相似比为x
12x=5+5x+(1-x)(4+3)=12-2x
x=6/7 PC=4*6/7=24/7
3、假设存在
设相似比为x
得到 5x*1/2=3*4/5*(1-x) x=24/29 PC=4x=96/29