如图，在平行四边形ABCD中，P是CD边上的一点，AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA，若AD=50mm，AP=80mm

解题思路：（1）根据平行四边形性质推出∠DAB+∠ABC=180°，根据角平分线定义求出∠PAB+∠PBA=90°，根据三角形的内角和定理求出即可；
（2）根据平行线的性质推出∠DA=∠PAB，推出∠DPA=∠DAP即可；
（3）证△AEF∽△APB，推出∠AFE=∠APB，证∠ABP=∠BPC，根据勾股定理求出BP，即可求出答案；
（4）过P作PH⊥AB于H，过O′作O′N⊥BF于N，求出高PH长，根据平行四边形面积求出BE，根据勾股定理求出AE，求出AO′=[5/3]m，根据O′N∥AE，得出比例式[O′N/AE]=[BO′/AB]，代入求出即可．

（1）直角三角形，
证明：∵平行四边形ABCD，
∴AD∥BC，
∴∠DAB+∠ABC=180°，
∵AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB=[1/2]∠DAB，∠PBA=[1/2]∠CBA，
∴∠PAB+∠PBA=90°，
∴∠APB=180°-90°=90°，
∴△APB是直角三角形．

（2）相等，
理由是：∵平行四边形ABCD，
∴DC∥AB，AD=BC，
∴∠DPA=∠PAB，∠CPB=∠PBA，
∵AP与BP分别平分∠DAB和∠CBA，
∴∠PAB=∠DAP，∠PBC=∠PBA，
∴∠DPA=∠DAP，∠CPB=∠CBP，
∴DP=AD，CP=BC，
∴DP=CP．


（3）∵AB是圆Q的直径，
∴∠AEB=∠APB=90°，
∵AP平分∠DAB，
∴∠DAP=∠BAP，
∴△AEF∽△APB，
∴∠AFE=∠APB，
∵平行四边形ABCD，
∴DC∥AB，
∴∠ABP=∠BPC，
∵AD=50，
∴AB=2AD=100，
在△APB中，由勾股定理得：PB=60，
∴tan∠AFE=tan∠APB=[80/60]=[4/3]．

（4）∵AP=80，AB=2AD=100，
在△APB中，由勾股定理得：BP=60，
过P作PH⊥AB于H，
由三角形的面积公式得：AP×BP=AB×PH，
∴PH=48，
由平行四边形的面积公式得：AD×BE=AB×PH，
BE=96，
在△ABE中，由勾股定理得：AE=
AB2−BE2=28，
∵tan∠AFE=[4/3]，
∴tan∠EAF=tan∠FAB=[3/4]，
∴[O′M/AO′]=[3/5]，
∵O′M=m，
∴AO′=[5/3]m，
BO′=100-[5/3]m，
过O′作O′N⊥BF于N，
则O′N=m，
∵O′N∥AE，
∴[O′N/AE]=[BO′/AB]，
∴[m/28]=
100−
5
3m
100，
解得：m=[210/11]，
答：m为[210/11]时，⊙O′与AP、BF都相切．

点评：
本题考点： 平行四边形的性质；角平分线的定义；三角形内角和定理；勾股定理；切线的判定与性质；锐角三角函数的定义．

考点点评： 本题综合考查了对平行四边形的性质，锐角三角函数，三角形的面积，勾股定理，切线的性质和判定，角平分线定义，三角形的内角和定理等知识点的应用，此题综合性比较强，有一定的难度，对学生提出较高的要求，综合运用这些性质进行推理和计算是解此题的关键．