如图，在四棱锥P-ABCD中，PA⊥平面ABCD，AB=4，BC=3，AD=5，∠DAB=∠ABC=90°，E是CD的中

解法一：（Ⅰ）连接AC，由AB=4，BC=3，∠ABC=90°，得AC=5，
又AD=5，E是CD得中点，
所以CD⊥AE，
PA⊥平面ABCD，CD⊂平面ABCD．
所以PA⊥CD，
而PA，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE．
（Ⅱ）过点B作BG ∥ CD，分别与AE，AD相交于点F，G，连接PF，
由CD⊥平面PAE知，BG⊥平面PAE，于是∠BPF为直线PB与平面PAE所成的角，且BG⊥AE．
由PA⊥平面ABCD知，∠PBA即为直线PB与平面ABCD所成的角．
由题意∠PBA=∠BPF，因为sin∠PBA=
PA
PB ，sin∠BPF=
BF
PB ，所以PA=BF．
由∠DAB=∠ABC=90°知，AD ∥ BC，又BG ∥ CD．
所以四边形BCDG是平行四边形，
故GD=BC=3，于是AG=2．
在RT△BAG中，AB=4，AG=2，BG⊥AF，
所以BG=
AB 2 + AG 2 =2
5 ，BF=
AB 2
BG =
16
2
5 =
8
5
5 ．
于是PA=BF=
8
5
5 ．
又梯形ABCD的面积为S=
1
2 ×（5+3）×4=16．
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=
1
3 ×S×PA=
1
3 ×16×
8
5
5 =
128
5
15 ．
解法二：以A为坐标原点，AB，AD，AP所在直线分别为X轴，Y轴，Z轴建立空间直角坐标系，
设PA=h，则A（0，0，0），B（4，0，0），C（4，3，0），D（0，5，0），E（2，4，0），P（0，0，h）．
（Ⅰ）

CD =（-4，2，0），

AE =（2，4，0），

AP =（0，0，h）．
因为

CD •

AE =-8+8+0=0，

CD •

AP =0．
所以CD⊥AE，CD⊥AP，而AP，AE是平面PAE内的两条相交直线，
所以CD⊥平面PAE．
（Ⅱ）由题设和第一问知，

CD ，

PA 分别是平面PAE，平面ABCD的法向量，
而PB与平面PAE所成的角和PB与平面ABCD所成的角相等，
所以：|cos＜

CD ，

PB ＞|=|cos＜

PA ，

PB ＞|，即|


CD •

PB
|

CD |•|

PB | |=|


PA •

PB
|

PA |•|

PB | |．
由第一问知

CD =（-4，2，0），

PA =（（0，0，-h），又

PB =（4，0，-h）．
故|
-16+0+0
2
5 •
16+ h 2 |=|
0+0+ h 2
h•
16+ h 2 |．
解得h=
8
5
5 ．
又梯形ABCD的面积为S=
1
2 ×（5+3）×4=16．
所以四棱锥P-ABCD的体积为V=
1
3 ×S×PA=
1
3 ×16×
8
5
5 =
128
5
15 ．

1年前