再用正交变换化二次型为标准形时,

再用正交变换化二次型为标准形时,
第一步：求出A
第二布：求出特征值
第三步：求出特征向量
第四部：对特征向量进行正交化,单位化
第五步：做正交变换x=Cy,得到f的标准形
我想请问一下：第三步到第五步有这个必要吗?求出特征值之后,直接写出f=λ1y1^2+λ2y2^2+λ3y3^2.不就可以了吗?
我是这样想的：不是有个定理说实对称矩阵一定是可以对角化的,也就是说,n阶实对称矩阵一定存在n个线性无关的特征向量,也就是说,实对称矩阵的n个特征值（可能会有相等的特征值）所对应的n个特征向量一定是线性无关的,那么这些向量组成的矩阵经过正交化和单位化后得到的矩阵C（正交变换矩阵）的行列式一定不等于0,所以C一定是可逆的,那为什么要按照上面第三步到第五步把C求出来然后验证它是不是等于0呢?第三步至第五步有必要吗?
还有我想问一下,为什么必须对特征向量组成的矩阵正交化和单位化呢?不进行会怎么样呢?