（本小题满分10分）设圆满足：(Ⅰ)截y轴所得弦长为2；(Ⅱ)被x轴分成两段圆弧，其弧长的比为3∶1．在满足条件(Ⅰ)、

解法一 设圆的圆心为P(a，b)，半径为r，则点P到x轴，y轴的距离分别为|b|，|a|。由题设知圆P截x轴所得劣弧所对的圆心角为90°，∴圆P截x轴所得的弦长为 r，故r ² =2b ² 。 又圆P截y轴所得的的弦长为2，所以有r ² =a ² +1。从而得2b ² -a ² =1。又点P(a，b)到直线x-2y=0的距离为d= ，所以5d ² =|a-2b| ² =a ² +4b ² -4ab≥a ² +4b ² -2(a ² +b ² )=2b ² -a ² =1，当且仅当a=b时，上式等号成立，从而要使d取得最小值，则应有 ，解此方程组得 或 。又由r ² =2b ² 知r= 。于是，所求圆的方程是(x-1) ² +(y-1) ² =2或(x+1) ² +(y+1) ² =2。------10分
解法二 同解法一得d= ，∴a-2b=± d，得a ² =4b ² ± bd+5d ² ①
将a ² =2b ² -1代入①式，整理得2b ² ±4 bd+5d ² +1="0 " ② 把它看作b的二次方程，由于方程有实根，故判别式非负，即△=8(5d ² -1)≥0，得5d ² ≥1。所以5d ² 有最小值1，从而d有最小值 。将其代入②式得2b ² ±4b+2=0，解得b=±1。将b=±1代入r ² =2b ² 得r ² =2，由r ² =a ² +1得a=±1。综上a=±1，b=±1，r ² =2。由|a-2b|=1知a，b同号。于是，所求圆的方程是(x-1) ² +(y-1) ² =2或(x+1) ² +(y+1) ² =2。--------10分

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