在数列{an}中,a1等于1,an加1等于2an加2的n次方,设bn等于2的n减1次方分之an.证明：数列{bn}是等差
在数列{an}中,a1等于1,an加1等于2an加2的n次方,设bn等于2的n减1次方分之an.证明：数列{bn}是等差数列
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a(n+1) = 2a(n) + 2^n,
a(n+1)/2^n = 2a(n)/2^n + 1 = a(n)/2^(n-1) + 1,
{a(n)/2^(n-1)}是首项为a(1)=1,公差为1的等差数列.
a(n)/2^(n-1) = 1 + (n-1) = n,
a(n) = n*2^(n-1).
b(n) = a(n)/2^(n-1) = n = 1 + (n-1).
{b(n)}是首项为b(1)=1,公差为1的等差数列.
a(n+1)/2^n = 2a(n)/2^n + 1 = a(n)/2^(n-1) + 1,
{a(n)/2^(n-1)}是首项为a(1)=1,公差为1的等差数列.
a(n)/2^(n-1) = 1 + (n-1) = n,
a(n) = n*2^(n-1).
b(n) = a(n)/2^(n-1) = n = 1 + (n-1).
{b(n)}是首项为b(1)=1,公差为1的等差数列.
1年前 追问
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s(n) = a(1) + a(2) + a(3) + ... + a(n) = 1*1 + 2*2 + 3*2^2 + ... + (n-1)*2^(n-2) + n*2^(n-1),
2s(n) = 1*2 + 2*2^2 + ... + (n-1)*2^(n-1) + n*2^n,
s(n) = 2s(n) - s(n) = -1*1 - 1*2 - 1*2^2 - ... - 1*2^(n-1) + n*2^n
= n*2^n - [1 + 2 + 2^2 + ... + 2^(n-1)]
= n*2^n - [2^n - 1]/(2-1)
= n*2^n - 2^n + 1
= 1 + (n-1)2^n
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