综合题已知,如图一所示,直线x+y=9与x轴、y轴,相交于,C、D两点,直线2x+3y+12=0与x轴、y轴相交于A、B
综合题
已知,如图一所示,直线x+y=9与x轴、y轴,相交于,C、D两点,直线2x+3y+12=0与x轴、y轴相交于A、B两点,F（4,0）是x轴上一点,过C点的直线l垂直于x轴,N是直线l上一点,（点N跟点C不重合）,连接AN.
（1）求A、D两点坐标
（2）若P是AN的中点,PF=5,猜想∠APF的度数,并说明理由.
（3）如图2所示,连接NF,求△AFN外接圆面积的最小值,并求△AFN外接圆面积最小时,圆心G的坐标.
图一
已知,如图一所示,直线x+y=9与x轴、y轴,相交于,C、D两点,直线2x+3y+12=0与x轴、y轴相交于A、B两点,F（4,0）是x轴上一点,过C点的直线l垂直于x轴,N是直线l上一点,（点N跟点C不重合）,连接AN.
（1）求A、D两点坐标
（2）若P是AN的中点,PF=5,猜想∠APF的度数,并说明理由.
（3）如图2所示,连接NF,求△AFN外接圆面积的最小值,并求△AFN外接圆面积最小时,圆心G的坐标.
图一
赞 冷月箬寒 幼苗
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(1)在2x+3y+12=0中,令y=0得A(-6,0)同理 D(0,9)
(2)设N(9,a)则P(3/2,a/2),由PF=5得25/4+a^2/4=25
所以a=5根号3,所以AP=5根号3
在△APF中,AP^2+PF^2=AF^2,所以∠APF是90°
(3)外接圆的圆心是中垂线的交点,AF中垂线x=-1
N(9,a),NF：y=a/5（x-4）,NF的中垂线y=[-5/a]（x-13/2）+a/2
联立AF,NF的中垂线得,G（-1,75/2a+a/2）
AG^2=25+75^2/(4a^2)+75/2+a^2/4
=75^2/(4a^2)+a^2/4+135/2
≥2根号（75^2/(4a^2)*a^2/4）+135/2
（均值不等式,当且仅当75^2/(4a^2)=a^2/4,即a=5根号3时,等号成立）
=100.
所以半径=AG最小=10,此时面积最小.
G（-1,15根号3/2）
(2)设N(9,a)则P(3/2,a/2),由PF=5得25/4+a^2/4=25
所以a=5根号3,所以AP=5根号3
在△APF中,AP^2+PF^2=AF^2,所以∠APF是90°
(3)外接圆的圆心是中垂线的交点,AF中垂线x=-1
N(9,a),NF：y=a/5（x-4）,NF的中垂线y=[-5/a]（x-13/2）+a/2
联立AF,NF的中垂线得,G（-1,75/2a+a/2）
AG^2=25+75^2/(4a^2)+75/2+a^2/4
=75^2/(4a^2)+a^2/4+135/2
≥2根号（75^2/(4a^2)*a^2/4）+135/2
（均值不等式,当且仅当75^2/(4a^2)=a^2/4,即a=5根号3时,等号成立）
=100.
所以半径=AG最小=10,此时面积最小.
G（-1,15根号3/2）
1年前
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