（2007•辽宁）已知函数f（x）=x3-9x2cosα+48xcosβ+18sin2α，g（x）=f'（x），且对任意

解题思路：（1）先求出f'（x），即g（x），它是关于x的二次函数，对任意的实数t均有g（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0
可先求出1+cost和3+sint的范围，转化为g（x）在某些区间上恒成立，结合二次函数的图象确定g（x）应满足的条件．
（2）由题意对任意的m∈[-26，6]恒成立，只要把式子看成关于m的不等式恒成立即可．

（1）g（x）=f'（x）=3x²-18xcosα+48cosβ
对任意的实数t，1+cost∈[0，2]，3+sint∈[2，4]．
对任意的实数t有g（1+cost）≥0，g（3+sint）≤0
即对任意的实数x∈[0，2]有g（x）≥0，x∈[2，4]时有g（x）≤0
∴

g(0)＞0
g(2)=0
g(4)≤0即

3cosα-4cosβ=1
cosβ＞0
4-6cosα+4cosβ≤0，解得

cosα=1
cosβ=
1
2
所以f（x）=x³-9x²+24x
（2）令g（m）=f（x）-x²+mx+11=xm+x³-10x²+24x+11
由题意只要

g(-26)≥0
g(6)≥0即

x3-10x2-2x+11≥0
x3-10x2+30x+11≥0

点评：
本题考点： 函数解析式的求解及常用方法；函数恒成立问题．

考点点评： 本题考查待定系数法求解析式、不等式恒成立问题，综合性强，难度较大．