汤家凤中值定理公开课里面的一道思考题.

f''(x)>0(a≤x≤b)这说明f(x)在[a,b]内为下凸函数
由下凸函数的性质：f(tx1+(1-t)x2)≤tf(x1)+(1-t)f(x2),
用数学归纳法证明：f(k1x1+k2x2+...+knxn)≤k1f(x1)+k2f(x2)+...+knf(xn).
当n=2时,由下凸函数的性质可知结论成立
设n=p时结论成立,即：f(k1x1+k2x2+...+kpxp)≤k1f(x1)+k2f(x2)+...+kpf(xp)
则当n=p+1时,
f(k1x1+k2x2+...+kpxp+k(p+1)x(p+1))
≤f(k1x1+k2x2+...+kpxp)+f(k(p+1)x(p+1))
（由第二步假设）≤[k1f(x1)+k2f(x2)+...+kpf(xp)]+k(p+1)f(x(p+1))
=k1f(x1)+k2f(x2)+...+kpf(xp)+k(p+1)f(x(p+1))
即n=p+1时定理也成立,故对一切n有定理成立
原命题得证