设函数f(x)＝ax+max−1（a，m为实常数，a＞0）．

（1）设x₁＜x₂，f(x1)−f(x2)＝2x1+
m
2x1−1−(2x2+
m
2x2−1)＝(2x1−2x2)(1−
m
2x1+x2)，
∵2x1−2x2＜0，1−
m
2x1+x2＞0，
∴f（x₁）-f（x₂）＜0，
即f（x₁）＜f（x₂），
即y=f（x）在R上是增函数．
（2）∵F(x)＝|f(x)+g(x)|＝|2x+
m
2x−1−
m
2x|＝|2x−1|=

1−2xx∈(−∞，0)
2x−1x∈[0，+∞).，
[f（x+1）]²-[f（x）]²=|2^x+1-1|²-|2^x-1|²=2^x（3•2^x-2），
∴x＞log2
2
3 时 f(x+1)＞f(x)，
∴x＜log2
2
3 时 f(x+1)＜f(x)，
∴x＝log2
2
3 时 f(x+1)＝f(x)．
（3）∵f（x）≥3在x∈[1，2]上恒成立，即ax+
1
a

点评：
本题考点： 函数恒成立问题．

考点点评： 本题主要考查函数单调性的判断，以及不等式恒成立问题，将不等式恒成立问题转化为求函数的最值是解决本题的关键．