如图，棱柱ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 的底面ABCD为菱形，平面AA 1 C 1 C⊥平面ABCD，

(1)证明：连接BD，
∵平面ABCD为菱形，
∴BD⊥AC，由于平面AA ₁ C ₁ C⊥平面ABCD，
则BD⊥平面AA ₁ C ₁ C，
又A ₁ A 平面AA ₁ C ₁ C，
故BD⊥AA ₁ 。
(2)证明：由棱柱ABCD-A ₁ B ₁ C ₁ D ₁ 的性质知AB ₁ ∥DC ₁ ，A ₁ D∥B ₁ C，
AB ₁ ∩B ₁ C=B ₁ ，A ₁ D∩DC ₁ =D，
由面面平行的判定定理推论知：平面AB ₁ C∥平面DA ₁ C ₁ 。
(3)存在这样的点P满足题意。
∵A ₁ B ₁ AB DC，
∴四边形A ₁ B ₁ CD为平行四边形，
∴A ₁ D∥B ₁ C，
在C ₁ C的延长线上取点P，使C ₁ C=CP，连接BP，
∵B ₁ B CC ₁ ，
∴BB ₁ CP，
∴四边形BB ₁ CP为平行四边形，
∴BP∥B ₁ C，∴BP∥A ₁ D，
∴BP∥平面DA ₁ C ₁ 。