已知函数f（x）=3x+3-x，g（x）=[x/2]+log3（1+3-x）．

解题思路：（1）设x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，作差g（x₁）-g（x₂），利用对数的性质化简变形，到能直接判断符号为止，根据函数单调性的定义，即可证得结论函数g（x）在区间（-∞，0]上为减函数，同理可证，在区间[0，+∞）上为增函数；
（2）利用函数奇偶性的定义，判断f（-x）与f（x）的关系，即可证得答案；
（3）欲使g（x）≤[1/2]log₃f（x）+a对一切实数x恒成立，只需a≥[g（x）-[1/2]log₃f（x）]_max，利用对数的运算法则进行化简，最后利用基本不等式求出右侧函数的最大值即可求出实数a的取值范围．

（1）∵g（x）=[x/2]+log₃（1+3^-x），
设x₁，x₂∈（-∞，0]，且x₁＜x₂，
∴g（x₁）-g（x₂）=
x1
2+log3(1+3-x1)-
x2
2-log3(1+3-x2)
=
x1-x2
2+log3
3x1+x2+3x2
3x1+x2+3x1
=log3[3
x1-x2
2•
3x1+x2+3x2
3x1+x2+3x1]
=log3
3x1+3
x1+x2
2
3x1+3x1+x2，
∵x₁＜x₂≤0，
则x₁+x₂＜0，x₁+x₂＜
x1+x2
2，
∴3x1+x2＜3
x1+x

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数单调性的判断与证明；对数函数图象与性质的综合应用．

考点点评： 本题考查了函数奇偶性的判断，奇偶性的判断一般应用奇偶性的定义和图象，要注意先考虑函数的定义域是否关于原点对称．本题还考查了函数单调性的判断与证明，注意一般单调性的证明选用定义法证明，证明的步骤是：设值，作差，化简，定号，下结论．同时考查了函数求值以及函数的恒成立问题．对于函数的恒成立问题，一般选用参变量分离法、最值法、数形结合法进行求解．属于难题．