一道微积分中值定理的证明题,麻烦高手给出证明过程,万分感激

一道微积分中值定理的证明题,麻烦高手给出证明过程,万分感激
设f(x)在[0,1]上连续,在(0,1)内可导,f(0)=f(1)=0,f(1/2)=1,试证:
(1)存在n属于(1/2,1),使得f(n)=n;
(2)存在k属于(0,n),使得f'(k)-[f(k)-k]=1;
西西的可爱多 1年前 已收到3个回答 举报

创作温暖 幼苗

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这个我会的,
第一问不用说了,简单可得
我主要说说第2问:
构造辅助函数 F(x)=f(x)-x-(0到x的变上限积分)[f(t)-t]dt
那么,显然有,F(x)在[0,n]上连续,在(0.n)内可导,且
F(0)=0,F(n)=0,根据 roll定理,
存在k,使得F'(k)=0

1年前

9

天际留痕 幼苗

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这两问都不难,第一问可用罗尔定理做,第二问可用柯西定理做(把f(1 /2)代替1用进去),写起来太麻烦了,不然就给你写写。。。。

1年前

1

Α狂人ㄠ 幼苗

共回答了9个问题 举报

令G(x)=f(x)-x。G(1)=f(1)-1=-1<0,G(1/2)=f(1/2)-1/2=1-1/2=1/2>0.由零点定理可知,至少存在一点 n 属于(1/2,1)使得 G(n)=0,即 f(n)=n。
第二个问,
没推出来,唉~~老了

1年前

0
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