二重积分 极坐标 变换 范围如何确定?我这样做为什么不对?

二重积分 极坐标 变换 范围如何确定?我这样做为什么不对?
为什么r的范围不是 2√2cosθ ? 我能通过这个图像来判断r的范围吗?
从图上 当θ一定的时候 r最小是0 r最大(θ已定时)就是落在圆上的时候 也就是2√2cosθ
所以我做的是 r取[0,2√2cosθ ]
但是答案是 r(cosθ+sinθ) 答案是通过那个圆的方程来确定的 但是不也是同样道理吗
为什么我这样不对呢?
Xbugatti 1年前 已收到1个回答 举报
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gyzgeng 幼苗

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你的做题方法当然是可以的,
但是犯了个小小的错误,
在计算的时候,你的θ是r与y=x这条直线的夹角,这当然是不可以的,
使用极坐标时,θ就应该是r 与x轴的夹角
在这里你的θ实际上是θ-π/4
所以r的取值范围应该是[0,2√2cos(θ-π/4) ]
其实2√2cos(θ-π/4)展开就等于 2(sinθ+cosθ),
这样就和原来的积分式子一样了
在积分的时候还是尽量通过给的积分区域的方程来确定积分变量的取值范围吧,
这样做更不容易错一些

1年前

9
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