春天的过去
春芽
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已知
、
是椭圆
的左、右焦点,且离心率
,点
为椭圆上的一个动点,
的内切圆面积的最大值为
.
(1) 求椭圆的方程;
(2) 若
是椭圆上不重合的四个点,满足向量
与
共线,
与
共
线,且
,求
的取值范围.
(1)
;(2)
试题分析:本小题主要通过对直线与圆锥曲线中椭圆的综合应用的考查,具体涉及到椭圆方程的求法、直线与圆锥曲线的相关知识与圆锥曲线的综合知识,提示考生对圆锥曲线的综合题加以重视,本题主要考查考生的推理论证能力,运算求解能力、化归与转化以及数形结合的数学思想.(1)利用方程思想和几何性质,得到含有
的两个等量关系,进而利用待定系数法求解椭圆方程;(2)通过直线与方程联立,借助韦达定理和弦长公式将
进行表示为含有
的函数关系式,利用换元法和二次函数求值域的思路寻求范围.
试题解析:(1)由几何性质可知:当
内切圆面积取最大值时,
即
取最大值,且
.
由
得
又
为定值,
,
综上得
;
又由
,可得
,即
,
经计算得
,
,
,
故椭圆方程为
. (5分)
(2) ①当直线
与
中有一条直线垂直于
轴时,
.
②当直线
斜率存在但不为0时,设
的方程为:
,由
消去
可得
,代入弦长公式得:
,
同理由
消去
可得
,
代入
1年前
8