一道高中数学题~~求高手解答~~
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已知函数f(x)=ax的平方+bx+c ,函数g(x)=f(x)-1/2[f(1)+f(3)],
(1)若f(-1)=0,f(0)=0,求出函数f(x)的零点;
(2)若f(x)满足a>0且f(x-1)-f(-x-1);又g(x)在区间[-2,2]上的最大值为-1,求g(x)的表达式;
(3)若f(1)≠f(3),证明方程g(x)=0必有一个实数根位于区间(1,3)
已知函数f(x)=ax的平方+bx+c ,函数g(x)=f(x)-1/2[f(1)+f(3)],
(1)若f(-1)=0,f(0)=0,求出函数f(x)的零点;
(2)若f(x)满足a>0且f(x-1)-f(-x-1);又g(x)在区间[-2,2]上的最大值为-1,求g(x)的表达式;
(3)若f(1)≠f(3),证明方程g(x)=0必有一个实数根位于区间(1,3)
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（1）若f(-1)=0,f(0)=0,则f(x)的零点为-1,0
注：该小问是不是弄错了,实际上可求出g(x)的零点,只要由f(-1)=0,f(0)=0,可得b=a,c=0
所以g(x)=a(x^2+x-7),其零点为(-1+√29)/2和(-1-√29)/2
(2)由f(x-1)=f(-x-1),可知f(x)关于x=-1对称(-b/2a=-1)
g(x)=ax^2+bx-(5a+2b),所以对称轴和f(x)一样,即 -b/2a=-1,再对称性知g(2)=-1
可求出a=1,b=2 ∴g(x)=x^2+2x-9
(3)g(1)=1/2[f(1)-f(3)],g(3)=1/2[f(3)-f(1)],且f(1)≠f(3)
所以g(1)g(3)
注：该小问是不是弄错了,实际上可求出g(x)的零点,只要由f(-1)=0,f(0)=0,可得b=a,c=0
所以g(x)=a(x^2+x-7),其零点为(-1+√29)/2和(-1-√29)/2
(2)由f(x-1)=f(-x-1),可知f(x)关于x=-1对称(-b/2a=-1)
g(x)=ax^2+bx-(5a+2b),所以对称轴和f(x)一样,即 -b/2a=-1,再对称性知g(2)=-1
可求出a=1,b=2 ∴g(x)=x^2+2x-9
(3)g(1)=1/2[f(1)-f(3)],g(3)=1/2[f(3)-f(1)],且f(1)≠f(3)
所以g(1)g(3)
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