已知函数f(x)＝2−ax+1(a∈R)的图象过点（4，-1）

解题思路：（1）将（4，-1）代入已知条件，即可求得a的值；
（2）可判断f（x）=2-

2x+1

在∈[-[1/2]，+∞）上减函数，f（0）•f（4）＜0，从而可判断f（x）在其定义域上有且只有一个零点；
（3）可将f（x）+mx＞1对一切的正实数x均成立，转化为m＞

2x+1 −1

x

=

2

( 2x+1 +1)

恒成立即可．

（1）∵点（4，-1）在函数f（x）的图象上，
∴2-
4a+1=-1，解之得a=2…2
（2）证明：由（1）得f（x）=2-
2x+1，定义域为x∈[-[1/2]，+∞）…3
∵y=
2x+1在∈[-[1/2]，+∞）上是增函数，
∴f（x）=2-
2x+1在∈[-[1/2]，+∞）上减函数，…5
又f（0）=1＞0，f（4）=-1＜0，
∴f（0）•f（4）＜0，
∴f（x）在其定义域上有且只有一个零点；…7
（3）由题意得：2-
2x+1+mx＞1即mx＞
2x+1-1，
∵x＞0，
∴m＞

2x+1−1
x…9
又

2x+1−1
x=
2x
x(
2x+1+1)=
2
(
2x+1+1)，
∴0＜
2
(
2x+1+1)＜1…11
要使原不等式对一切的正实数x均成立，只需m≥1，
∴m∈[1，+∞）…12

点评：
本题考点： 函数恒成立问题；函数的零点．

考点点评： 本题考查函数恒成立问题，着重考查转化思想，难点在于（3）m＞2x+1−1x=2(2x+1+1)的转化与应用，属于难题．