选修4-4:坐标系与参数方程已知直线l的参数方程为x=1−ty=2+3t(t为参数),曲线C的参数方程为x=4cosθy

选修4-4:坐标系与参数方程
已知直线l的参数方程为
x=1−t
y=2+
3
t
(t为参数),曲线C的参数方程为
x=4cosθ
y=3sinθ
(θ为参数),直线l与曲线C相交于A,B两点,又点P的坐标为(1,2).
求:(1)线段AB的中点坐标;
(2)线段AB的长;
(3)|PA-PB|的值.
ll神龙 1年前 已收到1个回答 举报

叶琴清 幼苗

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解题思路:先将直线的参数方程化为
x=a+cosαl
y=b+sinαl
(l为参数)的形式,此时,|l|的几何意义为(a,b)点到(x,y)的距离,(1)设点A对应的参数为l1,点B对应的参数为l2,将直线的参数方程代入曲线,利用韦达定理即可得l1+l2,而
l1+l2
2
即为AB中点对应的参数,代入参数方程可得中点坐标;(2)AB的长度即为AB参数差的绝对值,利用韦达定理代入求值即可;因为点P(1,2)在直线
x=1−
1
2
l
y=2+
3
2
l
上,且点P在椭圆内,故A、B两点分布在点P两侧,即l1与l2异号,所以|PA-PB|的值即为l1+l2的绝对值,代入求值即可

由题意可知,直线l的斜率为-
3,倾斜角为[2π/3]
∴直线l的参数方程可改写为

x=1−
1
2l
y=2+

3
2l(l为参数,|l|的几何意义为(1,2)点到(x,y)的距离),
曲线C的普通方程为
x2
16+
y2
9=1,
将直线方程代入曲线C的方程可得,
57
4l2+(32
3−9)l−71=0,
设点A对应的参数为l1,点B对应的参数为l2
∵△>0,∴l1+l2=−
4(32
3−9)
57,l1l2=−
284
57,
由参数l的几何意义

点评:
本题考点: 椭圆的参数方程;中点坐标公式;直线与圆锥曲线的关系;直线的参数方程.

考点点评: 本题考查了直线的参数方程,参数的几何意义及其应用,椭圆的参数方程及其与一般方程的互化,韦达定理在解决解析几何问题中的重要应用

1年前

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