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有意义么 春芽
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(Ⅰ)当a=
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2时,f(x)=
1
2(x2−1)−xlnx,所以f′(x)=x-lnx-1.
函数f(x)的定义域为(0,+∞).
设g(x)=x-lnx-1,则g′(x)=1-[1/x].
令g′(x)=0,得x=1.
当x∈(0,1)时,g′(x)<0,函数g(x)是减函数;
当x∈(1,+∞)时,g′(x)>0,函数g(x)是增函数.
函数g(x)的最小值为g(1)=0.
所以g(x)=f′(x)≥0(仅当x=1时取等号),f(x)在(0,+∞)是增函数.
(Ⅱ)由函数f(x)=a(x2-1)-xlnx,则f′(x)=2ax-lnx-1.
(1)若a≥[1/2],则由(Ⅰ)知,f′(x)=(2a-1)x+(x-lnx-1)>0,f(x)是增函数,
此时f(x)≥f(1)=0,不等式恒成立.
(2)若0<a<[1/2],设h(x)=2ax-lnx-1,h′(x)=2a-[1/x].
当x∈(1,[1/2a])时,h′(x)<0,函数h(x)是减函数.
则f′(x)=h(x)<h(1)=2a-1<0,f(x)在(1,[1/2a])是减函数.
这时f(x)<f(1)=0,不等式不成立.
(3)若a≤0时,则当x∈(1,+∞)时,f′(x)<0,f(x)在(1,+∞)是减函数,
此时f(x)<f(1)=0,不等式不成立.
综上所述,a的取值范围是[[1/2],+∞).
点评:
本题考点: 利用导数研究函数的单调性.
考点点评: 本题主要考查导函数的正负与原函数的单调性之间的关系,即当导函数大于0时原函数单调递增,当导函数小于0时原函数单调递减.考查了利用导数研究含有参数的不等式恒成立问题,是中档题.
1年前
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(2014•大庆二模)已知函数f(x)=a(x2-1)-xlnx
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已知fx=2xlnx,gx=-x2+ax-3求函数fx的最小值
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你能帮帮他们吗