已知A（x1，y1），B（1，y0），C（x2，y2）是椭圆x24+y23＝1上的三点，F为椭圆的左焦点，且|AF|，|

线段AC的垂直平分线过定点(
1
4，0)．
下面给出证明：
∵|AF|，|BF|，|CF|成等差数列，
∴ex₁+a+ex₂+a=2（e×1+a），化为x₁+x₂=2．
设线段AC的中点坐标为（1，m），若直线AC的斜率不存在，则不符合题意．
当直线AC的斜率存在为k时，由

x21
4+

y21
3＝1，

x22
4+

y22
3＝1，相减可得

x21−
x22
4+

y21−
y22
3＝0，
∴[1/4+
mk
3＝0，∴mk＝−
3
4]．可知k≠0．
∵线段AC的垂直平分线方程为y−m＝−
1
k(x−1)，化为y＝−
1
kx+
1
k+m，即y＝−
1
kx+
1+mk
k，
∴y＝−
1
kx+
1
4k，即y＝−
1
k(x−
1
4)，当x＝
1
4时，y=0，
因此线段AC的垂直平分线过定点(
1
4，0)．

点评：
本题考点： 椭圆的简单性质；等差数列的通项公式．

考点点评： 熟练掌握椭圆的焦半径公式、等差数列的定义、分类讨论的思想方法、线段的垂直平分线方程、过定点问题等是解题的关键．

1年前

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