已知圆C的圆心在坐标原点，且过点M（1 ， 3）．

解题思路：（1）根据圆的定义求出圆的半径，进而结合题意写出圆的方程．
（2）由圆的性质可得：P到直线l：x+y-4=0的距离的最小值是圆心到直线l的距离减去半径，结合点到直线的距离公式可得答案．
（3）设直线l的方程为：y=kx+b，根据题意可得：k＜0，b＞0，又因为l与圆C相切，得到b关于k的一个关系式，再用b与k表示出三角形的面积可得：S△ABC＝2(−k+

1

−k

)≥4，然后利用基本不等式求出面积的最大值与k、b的值即可．

（1）由题意可得：圆C的半径为|CM|＝
1+3＝2，…（2分）
所以圆C的方程为x²+y²=4…（3分）
（2）圆心到直线l的距离为d＝
|−4|

12+12＝2
2，…（4分）
所以P到直线l：x+y-4=0的距离的最小值为：2
2−2…（6分）
（3）设直线l的方程为：y=kx+b，
因为l与x，y轴的正半轴分别相交于A，B两点，所以k＜0，b＞0，且A(−
b
k ， 0) ，B(0 ， b)，
又因为l与圆C相切，
所以C点到直线l的距离等于圆的半径2，即：
|b|

k2+1＝2⇒b2＝4k2+4，①，
因为S△ABC＝
1
2(−
b
k)b＝
−b2
2k②…（8分）
所以将①代入②得S△ABC＝
−(4k2+4)
2k＝2(−k+
1
−k)≥4
(−k)•
1
−k＝4，
当且仅当k=-1时取等号，
所以当k=-1时，△ABC的面积最小，
此时b2＝4k2+4＝8，b＝2
2，
所以直线l的方程为：y＝−x+2
2…（10分）

点评：
本题考点： 圆的标准方程；点到直线的距离公式；直线与圆的位置关系．

考点点评： 解决此类问题的关键是熟练掌握圆的标准方程与圆的一个性质，以及结合点到直线的距离判断直线与圆的位置关系．