(本小题满分12分)已知函数f(x)= ,x∈[0,2].

(本小题满分12分)已知函数f(x)= ,x∈[0,2].
(1)求f(x)的值域;
(2)设a≠0,函数g(x)= ax 3 -a 2 x,x∈[0,2].若对任意x 1 ∈[0,2],总存在x 2 ∈[0,2],使f(x 1 )-g(x 2 )=0.求实数a的取值范围.
菲来菲去007 1年前 已收到1个回答 举报

金刚胖胖儿 幼苗

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解(1) 对函数f(x)求导,f′(x)= · .
令f′(x)=0,得x=1或x=-1.
当x∈(0,1)时,f′(x)>0,f(x)在(0,1)上单调递增;
当x∈(1,2)时,f′(x)<0,f(x)在(1,2)上单调递减.又f(0)=0,f(1)= ,f(2)= ,
∴当x∈[0,2]时,f(x)的值域是 .
(2)设函数g(x)在[0,2]上的值域是A.
∵对任意x 1 ∈[0,2],总存在x 0 ∈[0,2],
使f(x 1 )-g(x 0 )=0,∴ A.
对函数g(x)求导,g′(x)=ax 2 -a 2 .
①当x∈(0,2),a<0时,g′(x)<0,
∴函数g(x)在(0,2)上单调递减.
∵g(0)=0,g(2)= a-2a 2 <0,
∴当x∈[0,2]时,不满足 A;
②当a>0时,g′(x)=a(x- )(x+ ).
令g′(x)=0,得x= 或x=- (舍去).
(ⅰ)当x∈[0,2],0< <2时,列表:

∵g(0)=0,g( )<0,
又∵ A,∴g(2)= .
解得 ≤a≤1.
(ⅱ)当x∈(0,2), ≥2时,g′(x)<0 ,
∴函数在(0,2)上单调递减,
∵g(0)=0,g(2)= <0,
∴当x∈[0,2]时,不满足 A.
综上,实数a的取值范围是 .

1年前

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