(2014•南长区二模)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(12,0)、(12,6),

(2014•南长区二模)如图,在平面直角坐标系中,四边形OABC为矩形,点A、B的坐标分别为(12,0)、(12,6),直线y=-[3/2]x+b与y轴交于点P,与边OA交于点D,与边BC交于点E.
(1)若直线y=-[3/2]x+b平分矩形OABC的面积,求b的值;
(2)在(1)的条件下,当直线y=-[3/2]x+b绕点P顺时针旋转时,与直线BC和x轴分别交于点N、M,问:是否存在ON平分∠CNM的情况?若存在,求线段DM的长;若不存在,请说明理由;
(3)在(1)的条件下,将矩形OABC沿DE折叠,若点O落在边BC上,求出该点坐标;若不在边BC上,求将(1)中的直线沿y轴怎样平移,使矩形OABC沿平移后的直线折叠,点O恰好落在边BC上.
木头小兵 1年前 已收到1个回答 我来回答 举报

xmax1111 幼苗

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解题思路:(1)根据直线y=-[3/2]x+b平分矩形OABC的面积,知道其必过矩形的中心,然后求得矩形的中心坐标为(6,3),代入解析式即可求得b值;
(2)假设存在ON平分∠CNM的情况,分当直线PM与边BC和边OA相交和当直线PM与直线BC和x轴相交这两种情况求得DM的值就存在,否则就不存在;
(3)假设沿DE将矩形OABC折叠,点O落在边BC上O′处,连接PO′、OO′,得到△OPO′为等边三角形,从而得到∠OPD=30°,然后根据(2)知∠OPD>30°,得到沿DE将矩形OABC折叠,点O不可能落在边BC上;若设沿直线y=-[3/2]x+a将矩形OABC折叠,点O恰好落在边BC上O′处,连接P′O′、OO′,则有P′O′=OP′=a,在Rt△OPD和Rt△OAO′中,利用正切的定义求得a值即可得到将矩形OABC沿直线折叠,点O恰好落在边BC上;

(1)∵直线y=-[3/2]x+b平分矩形OABC的面积,
∴其必过矩形的中心
由题意得矩形的中心坐标为(6,3),
∴3=-[3/2]×6+b
解得b=12;

(2)如图1假设存在ON平分∠CNM的情况
①当直线PM与边BC和边OA相交时,过O作OH⊥PM于H
∵ON平分∠CNM,OC⊥BC,
∴OH=OC=6
由(1)知OP=12,
∴∠OPM=30°
∴OM=OP•tan30°=4
3
当y=0时,由-[3/2]x+12=0解得x=8,
∴OD=8
∴DM=8-4
3;
②当直线PM与直线BC和x轴相交时
同上可得DM=8+4
3(或由OM=MN解得);

(3)如图2假设沿DE将矩形OABC折叠,点O落在边BC上O′处连接PO′、OO′,则有PO′=OP
由(1)得BC垂直平分OP,∴PO′=OO′
∴△OPO′为等边三角形,∴∠OPD=30°
而由(2)知∠OPD>30°
所以沿DE将矩形OABC折叠,点O不可能落在边BC上;
如图3设沿直线y=-[3/2]x+a将矩形OABC折叠,点O恰好落在边BC上O′处
连接P′O′、OO′,则有P′O′=OP′=a
由题意得:CP′=a-6,∠OPD=∠AO′O
在Rt△OPD中,tan∠OPD=[OD/OP]
在Rt△OAO′中,tan∠AO′O=[OA/AO′]
∴[OD/OP]=[OA/AO′],即[8/12]=[6/AO′],AO′=9
在Rt△AP′O′中,由勾股定理得:(a-6)2+92=a2
解得a=[39/4],12-[39/4]=[9/4]
所以将直线y=-[3/2]x+12沿y轴向下平移[9/4]个单位得直线y=-

点评:
本题考点: 一次函数综合题.

考点点评: 本题考查了一次函数的综合运用,特别是在(2)(3)小题中对可能出现的各种情况都进行了分类讨论,题目综合性强,难度较大.

1年前

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