已知m、n均为正整数,且mn│m∧2+n∧2+m.证明m是一个完全平方数

bac001 1年前 已收到3个回答 举报

花心小生马咪 幼苗

共回答了21个问题采纳率:81% 举报

mn│(m^2+n^2+m), 即m|n^2
n|(m^2+m)--> n|m(m+1), 因为m, m+1互质,所以需有:m=kn 或m+1=kn
当m+1=kn时,m=kn-1, 因为kn-1, n 互质,所以不可能m|n^2, 所以m+1不能为kn.
当m=kn时,由m|n^2得:k|n, 即n=kr, 因此m=k^2r
mn=k^3r^2
m^2+n^2+m=k^2r(k^2r+r+1)
所以由mn|(m^2+n^2+1),得:kr|(k^2r+r+1), 因此r|1, 所以r=1.
故有:m=k^2为完全平方数.

1年前

1

章均 幼苗

共回答了339个问题 举报

题目有问题

1年前

2

AXJLMG 幼苗

共回答了1426个问题 举报

由已知,m|m^2+n^2+m,所以 m|n^2,
设 n^2=km ,其中k为正整数,
则 mn|m^2+k^2*m^2+m,
所以 n|m+mk^2+1 ,
因此,n^2|(m+mk^2+1)^2 ,
即 km|m^2+m^2k^4+1+2m^2k^2+2m+2mk^2,
所以 km|m^2+1+2m
则 m|m^2+2m+1 ,所以 m|1 ,
由此知 m=1 ,为完全平方数。

1年前

0
可能相似的问题
Copyright © 2022 YULUCN.COM - 雨露学习互助 - 18 q. 0.013 s. - webmaster@yulucn.com