一道几何题已知,如图5,△ABC中,AB=AC,∠BAC=900,D是AC的中点,AF⊥BD于E,交BC于F,连结DF.

作AG平分∠BAC,交BD于点G
∵∠BAC=90°,AE⊥BD
∴∠DAE+∠ADB=ABE+∠ADB=90°
∴ ∠ABG=∠CAF
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=AC,∠C=∠BAG=45°
∴△BAG≌△CAF
∴AG=CF
又∵AD=CD,∠GAD=∠C =45°
∴△AGD≌△DFG
∴∠ADB=∠CDF
作CG垂直于BD的延长线于G
易证三角形AED与三角形CGD全等
所以 ED=DG
因为 ∠AED = 90度 =∠BEA ；
∠ADE = 90度 - ∠BAD = ∠BAE,
所以三角形AED与三角形BEA相似
所以 ED/AE = AE/BE = AD/BA = AD/AC = 1/2
所以 ED/BE = 1/4
所以 BE/BG = BE/(BE+ED+DG) = BE/(BE+2ED) = 2/3
因为 AF//CD,所以三角形BEF与三角形BGC相似
所以 BF/BC = BE/BG = 2/3
所以 BF/FC = BF/(BC-BF) = 2/1
因为 AB/DC = 2/1 = BF/FC
而 ∠ABF = ∠DCF = 45度,
所以三角形ABF与三角形DCF相似
所以 ∠BAF = ∠CDF
又因为∠ADB = 90度 - ∠BAD = ∠BAF,
所以 ∠ADB = ∠CDF

证明：作AM平分∠BAC，交BD于点M
∵∠BAC=90°，AE⊥BD
∴∠DAE+∠ADB=ABE+∠ADB=90°
∴ ∠ABM=∠CAF
∵△ABC是等腰直角三角形
∴AB=AC，∠C=∠BAM=45°
∴△BAM≌△CAF
∴AM=CF
又∵AD=CD，∠MAD=∠C =45°
∴△AMD≌△DFM
∴∠ADB=∠CDF