如图,△ABC中,∠BAC=90°,AB=AC,点D、E在BC上,且∠DAE=45°,求证:CD2+BE2=DE2.

xiao微笑天使 1年前 已收到1个回答 我来回答 举报

sendoh21 幼苗

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解题思路:根据等腰直角三角形的性质得∠2=∠C=45°,再把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,如图,根据旋转的性质得∠1=∠C=45°,BF=CD,AF=AD,∠BAF=∠CAD,∠DAF=90°,接着证明∠EAD=∠EAF,然后根据“SAS”可判断△ADE≌△ADF,得到DE=FE;由于∠FBE=∠1+∠2=90°,根据勾股定理得BE2+BF2=EF2,然后利用等线段代换即可得到结论.

证明:∵∠BAC=90°,AB=AC,
∴∠2=∠C=45°,
把△ACD绕点A顺时针旋转90°得到△ABF,如图,则∠1=∠C=45°,BF=CD,AF=AD,∠BAF=∠CAD,∠DAF=90°,
∵∠DAE=45°,
∴∠CAD+∠BAE=45°,
∴∠BAE+∠BAF=45°,即∠EAF=45°,
∴∠EAD=∠EAF,
在△ADE和△AFE中


AE=AE
∠EAD=∠EAF
AD=AF,
∴△ADE≌△AFE,
∴DE=FE,
∵∠FBE=∠1+∠2=90°,
∴BE2+BF2=EF2
∴CD2+BE2=DE2

点评:
本题考点: 旋转的性质;勾股定理;等腰直角三角形.

考点点评: 本题考查了旋转的性质:对应点到旋转中心的距离相等;对应点与旋转中心所连线段的夹角等于旋转角;旋转前、后的图形全等.也考查了勾股定理和等腰直角三角形的性质.

1年前

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