设实数a,b使方程x4+ax3+bx²+ax+1=0有实根,求a²+b²的最小值.

≤-2是有问题。首先一个低级错误就是a^2+b^2本身是个非负数，最小值不可能是负数 更正如下： 显然x=0时方程有1=0，矛盾 表明x≠0 将方程两边同时除以x^2 则(x^2+1/x^2)+a(x+1/x)+b=0 即(x+1/x)^2+a(x+1/x)+b-2=0 令y=x+1/x 则上述方程为y^2+ay+(b-2)=0（I） 令方程（I）的解为m、n（可能相等可能不相等） 当x>0时 由基本不等式知y=x+1/x≥2 即m≥2，n≥2 由韦达定理有 m+n=-a mn=b-2 即有a=-(m+n) b=mn+2 所以a^2+b^2 =(m+n)^2+(mn+2)^2 =m^2+2mn+n^2+(mn)^2+4mn+4 =(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4) 令f(m)=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)（m≥2） 因对称轴m=-3n/(n^2+1)<0（注意到n≥2） 则当m≥2时f(m)min=f(2)=5n^2+12n+8 而因n≥2 即有f(m)min≥52 当x<0时，即-x>0 由基本不等式知y=x+1/x=-[(-x)+1/(-x)]≤-2 即m≤-2，n≤-2 由韦达定理有 m+n=-a mn=b-2 即有a=-(m+n) b=mn+2 所以a^2+b^2 =(m+n)^2+(mn+2)^2 =m^2+2mn+n^2+(mn)^2+4mn+4=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4) 令f(m)=(n^2+1)m^2+(6n)m+(n^2+4)（m≤-2） 因对称轴m=-3n/(n^2+1)>0（注意到n≤-2） 则当m≤-2时f(m)min=f(-2)=5n^2-12n+8=5(n-6/5)^2+4/5 而因n≤-2 则n-6/5≤-16/5 于是有(n-6/5)^2≥256/25 即有f(m)min≥52 综上知a^2+b^2≥52