(2009•青浦区二模)(理)已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点.

(2009•青浦区二模)(理)已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点.
(1)设过点A且斜率为-1的直线l1,与过点B且斜率为1的直线l2相交于点P(4,4),求直线AB的斜率;
(2)问题(1)的条件中出现了这样的几个要素:已知圆锥曲线Γ,过该圆锥曲线上的相异两点A、B所作的两条直线l1、l2相交于圆锥曲线Γ上一点;结论是关于直线AB的斜率的值.请你对问题(1)作适当推广,并给予解答;
(3)若线段AB(不平行于y轴)的垂直平分线与x轴相交于点Q(x0,0).若x0=5,试用线段AB中点的纵坐标表示线段AB的长度,并求出中点的纵坐标的取值范围.
陈海青 1年前 已收到1个回答 举报

zhanlie 幼苗

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解题思路:(1)由直线与抛物线联立方程组解得A(16,-8),B(0,0),由点斜式写出两条直线l1、l2的方程,从而得出直线AB的斜率;
(2)推广的评分要求分三层:
一层:点P到一般或斜率到一般,或抛物线到一般,例子:1、已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点.设过点A且斜率为-1的直线l1,与过点B且斜率为1的直线l2相交于抛物线y2=4x上的一定点P(
t2
4
,t)
,求直线AB的斜率等等;
二层:两个一般或推广到其它曲线;
三层:满分(对抛物线,椭圆,双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法)
(3)点Q(x0,0),设A(x1,y1),B(x2,y2),则yi2=4xi(i=1,2).设线段AB的中点是M(xm,ym),斜率为k,写出线段AB的垂直平分线l的方程,又点Q(5,0)在直线l上,求出xm=3.最后利用0<ym2<4xm=12,即可求出中点的纵坐标的取值范围.

(理)(1)由

x+y−8=0
y2=4x.解得A(16,-8);由

x+y=0
y2=4x.解得B(0,0).
由点斜式写出两条直线l1、l2的方程,l1:x+y-8=0;l2:x-y=0,所以直线AB的斜率为−
1
2. …(4分)
(2)推广的评分要求分三层
一层:点P到一般或斜率到一般,或抛物线到一般((3分),问题(1分)、解答2分)
例:1、已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点.设过点A且斜率为-1的直线l1,与过点B且斜率为1的直线l2相交于抛物线
y2=4x上的一定点P(
t2
4,t),求直线AB的斜率;
2、已知A、B是抛物线y2=4x上的相异两点.设过点A且斜率为-k 1的直线l1,与过点B且斜率为k的直线l2相交于抛物线
y2=4x上的一点P(4,4),求直线AB的斜率;
3、已知A、B是抛物线y2=2px(p>0)上的相异两点.设过点A且斜率为-1的直线l1,与过点B且斜率为1的直线l2相交于抛物线y2=2px(p>0)上的一定点P(
t2
2p,t),求直线AB的斜率; AB的斜率的值.
二层:两个一般或推广到其它曲线((4分),问题与解答各占2分)
例:4.已知点Ρ是抛物线y2=4x上的定点.过点P作斜率分别为k、-k的两条直线l1、l2,分别交抛物线于A、B两点,试计算直线AB的斜率.
三层:满分(对抛物线,椭圆,双曲线或对所有圆锥曲线成立的想法.)((7分),问题(3分)、解答4分)
例如:5.已知抛物线y2=2px上有一定点P,过点P作斜率分别为k、-k的两条直线l1、l2,分别交抛物线于A、B两点,试计算直线AB的斜率.
过点P(x0,y0),斜率互为相反数的直线可设为y=k(x-x0)+y0,y=k(x-x0)+y0,其中y02=2px0

点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;抛物线的简单性质.

考点点评: 本小题主要考查抛物线的简单性质、直线与圆锥曲线的综合问题等基础知识,考查运算求解能力,考查数形结合思想、化归与转化思想.属于基础题.

1年前

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