(2014•松北区一模)如图,在平行四边形ABCD中,点M、N分别在线段DA、BA的延长线上,且BD=BN=DM,连接B

(2014•松北区一模)如图,在平行四边形ABCD中,点M、N分别在线段DA、BA的延长线上,且BD=BN=DM,连接BM、DN并延长交于点P.
(1)求证:∠P=90°-[1/2]∠C;
(2)当∠C=90°,ND=NP时,判断线段MP与AM的数量关系,并给予证明.
从小就很yy 1年前 已收到1个回答 举报

芒果与番茄 幼苗

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解题思路:(1)首先过点B作BF⊥PD于点F,过点D作DG⊥BP于点G,BF与DG交于点H,由BD=BN=DM,可得BF与DG是∠DBN、∠MDB的平分线,又由四边形内角和为360°,可得∠P+∠FHG=180°,继而可得∠DHB=∠FHG=180°-∠P=90°+[1/2]∠C,则可证得结论;
(2)首先过点P作PS⊥CD于点S,PR⊥BD于点R,易证得△PKD≌△PSD(AAS),同理:△PKD≌△PRB,然后延长BN交QS于点Q,则Q为PS的中点,设QS=PQ=x,即可求得答案.

(1)证明:过点B作BF⊥PD于点F,过点D作DG⊥BP于点G,BF与DG交于点H,
∵BD=BN=DM,
∴BF与DG是∠DBN、∠MDB的平分线,
∴由四边形内角和为360°,可得∠P+∠FHG=180°,
∵∠DHB=180°-(∠GDB+∠FBD)=180°-[1/2](180°-∠DAB)=90°+[1/2]∠DAB,
∴∠DHB=∠FHG=180°-∠P=90°+[1/2]∠C,
∴∠P=90°-[1/2]∠C;

(2)MP:AM=
5:2.
理由:过点P作PS⊥CD于点S,PR⊥BD于点R,
当∠C=90°时,则∠DPB=45°,
∵BN∥CD,
∴∠BND=∠BDN=∠SDN,
同理:∠PBD=∠PBR,
作PK⊥BC于点K,
在△PKD和△PSD中,


∠S=∠PKD=90°
∠PDS=∠PDK
PD=PD,
∴△PKD≌△PSD(AAS),
同理:△PKD≌△PRB,
∴PS=PR,
∴四边形PSCR是正方形,
延长BN交QS于点Q,则Q为PS的中点,
设QS=PQ=x,
则PS=CS=RC=2x,RB=DB=x,
设SD=m,BD=x+m,
则(x+m)2=x2+(2x-m)2
∴m:x=2:3,
∴PB=
5x,PM=

5
3x,AM=[2/3]x,
∴MP:AM=

点评:
本题考点: 平行四边形的性质.

考点点评: 此题考查了平行四边形的性质、正方形的判定与性质、等腰三角形的性质以及勾股定理等知识.此题综合性较强,难度很大,解题的关键是准确作出辅助线,注意掌握数形结合思想与方程思想的应用.

1年前

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