已知点P是双曲线x2a2−y2b2=1上除顶点外的任意一点,F1、F2分别为左、右焦点,c为半焦距,△PF1F2的内切圆

已知点P是双曲线
x2
a2
y2
b2
=1
上除顶点外的任意一点,F1、F2分别为左、右焦点,c为半焦距,△PF1F2的内切圆与F1F2切于点M,则|F1M|•|F2M|=______.
灼夏 1年前 已收到1个回答 举报

goz_84 幼苗

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解题思路:根据图象和圆切线长定理可知:|F1M|=|F1S|,|F2M|=|F2T|,|PS|=|PT|后根据双曲线的定义分P在图象的右支和左支可得
|F1M|-|F2M|=±2a,与|F1M|+|MF2|=|F1F2|=2c联立即可求出|F1M|和|MF2|,|F1M|与|F2M|的积再根据双曲线的基本性质c2-a2=b2化简得到值.

根据从圆外一点向圆所引的两条切线长相等可知:|F1M|=|F1S|,|F2M|=|F2T|,|PS|=|PT|
①当P在双曲线图象的右支时,而根据双曲线的定义可知
|F1M|-|F2M|=|F1P|-|F2P|=2a①;
而|F1M|+|MF2|=|F1F2|=2c②,
联立①②解得:|F1M|=a+c,|F2M|=c-a,所以|F1M|•|F2M|=(a+c)(c-a)=c2-a2=b2
②当P在双曲线图象的左支时,而根据双曲线的定义可知
|F2M|-|F1M|=|F2P|-|F1P|=2a③;
而|F1M|+|MF2|=|F1F2|=2c④,
联立③④解得:|F2M|=a+c,|F1M|=c-a,|F1M|•|F2M|=(a+c)(c-a)=c2-a2=b2
综上,可得|F1M|•|F2M|=b2
故答案为:b2

点评:
本题考点: 直线与圆锥曲线的关系.

考点点评: 考查学生掌握双曲线的基本性质,灵活运用圆切线长定理化简求值.做题时注意利用分类讨论的数学思想.

1年前

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