如图，Rt△ABC中，∠ABC=90°，以AB为直径的⊙O交AC于点D，E是BC的中点，连结DE、OE.

小题1:DE与⊙O相切.……………………………………1分
证明：连接OD，BD。………………………………2分
∵AB是直径，∴∠ADB=∠BDC=90°.
∵E是BC的中点，∴DE=BE=CE. ∴∠EBD=∠EDB.
∵OD=OB，∴∠OBD=∠ODB.
∴∠EDO=∠EBO=90°. ∴DE与⊙O相切.………………4分
小题2:∵OE是△ABC的中位线，∴AC=2OE……………5分
∴△ABC∽△BDC.…………………………………………6分
∴ = .即BC ² =CD·AC.
∴BC=2CD·OE.……………………………………………7分
小题3:


（3）∵tanC= ，∴可设BD= ，CD=2x.…………8分
在Rt△BCD中， .解之，得x=± (负值舍去)
∴BD= = ……………………………………9分
∵tan∠ABD=tan∠C,∴AD= BD= .………………………………10分