（2014•泉州一模）如图1所示的图板中，O是F1F2的中点，且|F1F2|=2．将一条长为4的细绳两端分别固定在F1，

（Ⅰ）如图，以线段F₁F₂所在直线为x轴，线段F₁F₂的中点O为原点建立直角坐标系，
设椭圆Γ的标准方程为
x2
a2+
y2
b2＝1（a＞b＞0），
依题意得2a=4，即a=2，
又|F₁F₂|=2，∴c=1，∴b²=4-1=3，
∴椭圆Γ的一个标准方程为：
x2
4+
y2
3＝1．
（Ⅱ）∵P为椭圆Γ上满足PF₁⊥F₁F₂的点，∴P（1，[3/2]），kCP＝
3
2，
假设存在满足题意的直线l，则这样的直线l必须同时满足下列条件：
①直线l与椭圆相交；②直线l∥OP；③|AB|=|OP|，
由②知直线l的斜率k=k_CP=[3/2]，
∴设直线l的方程为y=[3/2x+m，
将y=
3
2x+m代入椭圆Γ的方程，得x2+mx+
m2
3−1＝0．
由①知△＝4−
m2
3＞0，得-2
3＜m＜2
3]，
设A（x₁，y₁），B（x₂，y₂），由根与系数的关系得：
x1+x2＝−m，x1x2＝
m2
3−1，
由③得|AB|=|OP|=

点评：
本题考点： 直线与圆锥曲线的综合问题．

考点点评： 本题考查椭圆方程的求法，考查满足条件的直线方程是否存在的判断与求法，解题时要认真审题，注意椭圆弦长公式的合理运用．