大学微积分课后习题1、lim(sin 根号x - sin 根号1+x) 当x趋向于正无穷的时候,极限为0,如何证明?2、

大学微积分课后习题
1、lim(sin 根号x - sin 根号1+x) 当x趋向于正无穷的时候,极限为0,如何证明?
2、lim 1/x * arctanx 当x趋向于正无穷的时候,极限为0,如何证明?
3、lim lnx * sin1/(x-1) 当x趋向于1的时候,极限为0,如何证明?
法法202020 1年前 已收到2个回答 举报

诗火刀 幼苗

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1年前

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游海明珠 春芽

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∵lim(x->+∞)[√(1+x)-√x]=lim(x->+∞)[(1+x-x)/(√(1+x)+√x)] (有理化分子)
=lim(x->+∞)[1/(√(1+x)+√x)]
=0
∴lim(x->+∞)│sin((√(1+x)-√x)/2)│=0
∵│cos((√(1+x)+√x)/2)│≤1
又│sin(√(1+x))-sin(√x)│=│2*cos((√(1+x)+√x)/2)*sin((√(1+x)-√x)/2)│ (应用和差化积公式)
≤2│sin((√(1+x)-√x)/2)│
∴-2│sin((√(1+x)-√x)/2)│≤sin(√(1+x))-sin(√x)≤2│sin((√(1+x)-√x)/2)│
==> 0≤lim(x->+∞)[sin(√(1+x))-sin(√x)]≤0
故 lim(x->+∞)[sin(√(1+x))-sin(√x)]=0。

因为x趋向无穷 arctanx=π2,

lim [x→1] [1/(x-1) - 1/lnx]
通分
=lim [x→1] (lnx-x+1)/[(x-1)lnx]
lnx=ln(1+x-1)等价于x-1,分母的lnx换为x-1
=lim [x→1] (lnx-x+1)/(x-1)²
洛必达法则
=lim [x→1] (1/x - 1)/[2(x-1)]
=lim [x→1] (1-x)/[2x(x-1)]
=lim [x→1] -1/(2x)
=-1/2

1年前

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