如图1，点A在反比例函数y＝4x（x＞0）的图象上，B点在x轴上，且∠OAB=90°，OA=AB，作AC⊥OB于C．

（1）∵△AOB是等腰直角三角形，而AC⊥OB于C，
∴OA=OC，
∵A在y＝
4
x的图象上，
∴A（2，2）

（2）根据（1）可以得到AC=OC=2，
∴AB=2
2
∵E为AB的中点，∠ECF=90°交AO于F，
又∵△AOB是等腰直角三角形
∴四边形AECF是正方形，
∴F是OA的中点，
∴EF=
1
2OB=2，OF=BE=
2，
∴EF²⁼OF²+EB²

（3）连接AC，
∴∠ACB=∠EFC=90°
∴∠ACF=∠ECB，
∵AC=BC，∠EBC=∠CAF=45°
∴△ACF≌△BCE（ASA），
∴AF=BE，
∵OA=OB
∴OF=AE，
∴EF²=AF²+AE²=BE²+OF²．