如图甲所示,在△ABC中,AB=AC,在底边BC上有任意一点P,则P点到两腰的距离之和等于定长(腰上的高),即PD+PE

如图甲所示,在△ABC中,AB=AC,在底边BC上有任意一点P,则P点到两腰的距离之和等于定长(腰上的高),即PD+PE=CF,若P点在BC的延长线上,那么请你猜想PD、PE和CF之间存在怎样的等式关系?写出你的猜想并加以证明.
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mqtyhe 幼苗

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解题思路:猜想:PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF.根据∵S△PAB=[1/2]AB•PD,S△PAC=[1/2]AC•PE,S△CAB=[1/2]AB•CF,S△PAC=[1/2]AC•PE,[1/2]AB•PD=[1/2]AB•CF+[1/2]AC•PE,即可求证.

我的猜想是:PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF.理由如下:
连接AP,则S△PAC+S△CAB=S△PAB
∵S△PAB=[1/2]AB•PD,S△PAC=[1/2]AC•PE,S△CAB=[1/2]AB•CF,
又∵AB=AC,
∴S△PAC=[1/2]AB•PE,
∴[1/2]AB•PD=[1/2]AB•CF+[1/2]AB•PE,
即[1/2]AB(PE+CF)=[1/2]AB•PD,
∴PD=PE+CF.

点评:
本题考点: 等腰三角形的性质;三角形的面积.

考点点评: 本题考查了等腰三角形的性质及三角形的面积,难度适中,关键是先猜想出PD、PE、CF之间的关系为PD=PE+CF再证明.

1年前

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