（2012•安徽）平面图形ABB1A1C1C如图4所示，其中BB1C1C是矩形，BC=2，BB1=4，AB=AC=2，A

（Ⅰ）证明：取BC，B₁C₁的中点为点O，O₁，连接AO，OO₁，A₁O，A₁O₁，
∵AB=AC，∴AO⊥BC
∵平面ABC⊥平面BB₁C₁C，平面ABC∩平面BB₁C₁C=BC
∴AO⊥平面BB₁C₁C
同理A₁O₁⊥平面BB₁C₁C，∴AO∥A₁O₁，∴A、O、A₁、O₁共面
∵OO₁⊥BC，AO⊥BC，OO₁∩AO=O，∴BC⊥平面OO₁A₁A
∵AA₁⊂平面OO₁A₁A，∴AA₁⊥BC；
（Ⅱ）延长A₁O₁到D，使O₁D=OA，则∵O₁D∥OA，∴AD∥OO₁，AD=OO₁，
∵OO₁⊥BC，平面A₁B₁C₁⊥平面BB₁C₁C，平面A₁B₁C₁∩平面BB₁C₁C=B₁C₁，
∴OO₁⊥面A₁B₁C₁，
∵AD∥OO₁，
∴AD⊥面A₁B₁C₁，
∵AD=BB₁=4，A₁D=A₁O₁+O₁D=2+1=3
∴AA₁=
42+32=5；
（Ⅲ）∵AO⊥BC，A₁O⊥BC，∴∠AOA₁是二面角A-BC-A₁的平面角
在直角△OO₁A₁中，A₁O=
42+22＝2
5
在△OAA₁中，cos∠AOA₁=-

5
5
∴二面角A-BC-A₁的余弦值为-

5
5．

点评：
本题考点： 平面与平面垂直的性质；直线与平面垂直的性质；二面角的平面角及求法．

考点点评： 本题考查线线垂直，考查线面垂直，考查面面角，解题的关键是掌握线面垂直的判定，正确作出面面角．